Matlab与线性代数

文章目录

    • @[toc]
    • 1 行列式
    • 2 矩阵运算
      • 2.1 特殊矩阵
      • 2.2 矩阵运算
    • 3 初等变换
    • 4 曲线拟合 polyfit
    • 5 向量组正交化qr
    • 6 线性方程组
    • 7 二次型与标准型

1 行列式

行列式det

B = [0 2 1 1
    1 -5 3 -4
    1 3 -1 2
    -5 1 3 -3];
B
% 行列式计算
det(B)

符号计算方法syms

syms a b c d A
A = [a b c d
    -b a -d c
    -c d a -b
    -d -c b a];
A
det(A)

求解线性非齐次方程组,符号解法str2sym

% 求解线性非齐次方程组
syms a b c
syms x1 x2 x3
eq1 = str2sym("x1+a*x2+a^2*x3 =1");
eq2 = str2sym("x1+b*x2+b^2*x3 =1");
eq3 = str2sym("x1+c*x2+c^2*x3 =1");
[x1 x2 x3] = solve(eq1,eq2,eq3)

2 矩阵运算

2.1 特殊矩阵

% 空矩阵[]
A = [];A
A = [1 2;3 4];A(:,2) = [];A % 删除矩阵第2列

% 单位矩阵eye()
A = eye(3);A

% 元素全为1矩阵
A = ones(3);A
A = ones(2,3);A

% 元素全为0矩阵
A = zeros(3);A
A = zeros(2,3);A

% 0-1均匀分布矩阵(模糊矩阵)
A = rand(3);A
A = rand(2,3);A

% 标准正态分布矩阵
A = randn(3);A
A = randn(2,3);A

% 求矩阵上三角
A = randn(3);triu(A)
A = randn(2,3);triu(A)

% 求下三角矩阵
A = randn(3);tril(A)
A = randn(2,3);tril(A)

2.2 矩阵运算

% 加法与减法
A = [1 2; 3 4];B = [5 6 ;7 8];
A + B
A - B

% 符号运算
A = [a b ;c d];B = [b d;c a];
C = sym(A) + sym(B)

% 乘法运算
A = [1 2 ; 3 4];
2*A  % 数乘运算

% 矩阵乘法
A = rand(2,3);
B = randn(3,2);
A*B

% 矩阵转置
A = [1 2; 3 4];
A'

% 符号运算转置transpose
syms a b c d A
A = [a b ; c d];
transpose(A)

% 幂运算
A = randn(3);A^10

% 逆运算
A = [1 2 ; 3 4];
inv(A)
% 符号求解
syms a b c d A
A = [a b ; c d];
inv(A)

% 矩阵相同判断
A = rand(3);B = randn(3);
isequal(A,B)

% 矩阵维度
A = rand(3,4);
size(A)

% 矩阵迹
A = [1 2 ; 3 4];
trace(A)

3 初等变换

A = [1 2 3; 1 1 1; 0 0 1];A
% 数乘某行
A(1,:) = 2*A(1 ,:)
A(1,:) = 0.5*A(1 ,:)

% 数乘某行加到另一行
A(2,:) = A(1,:)+1*A(1,:)

% 交换两行、列
A([3,2],:) = A([2,3],:)
A(:,[3,2]) = A(:,[2 3])

% 最简形
A = rand(3,4);
rref(A)

% 矩阵的秩
A = randn(3,4);
rank(A)

%最简形解线性方程组
A = [1 0 0 -6; 2 1 -2 6; 0 2 0 -12];
rref(A)

4 曲线拟合 polyfit

x = [1 3 4 5 6 7 8 9 10];
y = [10 5  4 2 1 1 2 3 4];
plot(x,y,"+") % 散点图
p = polyfit(x,y,2)   % p为多项式(降幂)系数,2表示2次多项式
polyval(p,x) % 拟合值
plot(x,y,"+",x,polyval(p,x),"-")

5 向量组正交化qr

A =[1 1 1 1; 1 1 1 0; 1 1 0 0; 1 0 0 0];
[Q R] = qr(A) % Q为标准正交向量组

6 线性方程组

A = [ 1 2 2 0;1 3 4 -2; 1 1 0 2]; % 行列式为0,存在无穷组解
b = [2;3;1];
x = A\b  % 无穷组解,计算一组特解
null(A) % 计算基础解,求解0空间

% 特征值与特征向量[V,D] = eig(A)
A = [1 1 1 1;0 0 1 1;0 0 1 0;0 0 1 2];
[V,D] = eig(A) % V表示特征向量;D返还特征值

% jordan标准形
A = [-1 1 0; -4 3 0;1 0 2];
[P ,J] = jordan(A)

7 二次型与标准型

% 化二次型为标准型
A = [2 -2 0;-2 1 -2;0 -2 0];
[P,T] = schur(A) %P返还正交矩阵;T返还标准系数matlab

正定矩阵判定,编写M文件

function Y = ispositivel(A)
%判定矩阵是否正定
if(all(eig(A)>0))
    Y =1;
else
    Y=0;
end

调用函数 ispositivel,返回布尔值

A = [3 1 1 0;1 1 0 1;1 0 4 0;0 1 0 2];
Y = ispositivel(A);

-END-

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