反向传播
- 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
- 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
- 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
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对于
L
(
θ
)
L(\theta)
L(θ)就是所有
l
n
l^n
ln的损失之和，所以如果要算每个
L
(
θ
)
L(\theta)
L(θ)的偏微分，我们只要算每个
l
n
l^n
ln的偏微分，再把所有
l
n
l^n
ln偏微分的结果加起来就是
L
(
θ
)
L(\theta)
L(θ)的偏微分，所以等下我们只计算每个
l
n
l^n
ln的偏微分。
我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-A9RNXtcN-1626615491178)(res/chapter14-4.png)]
取出一个Neuron进行分析
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t8AmOGzY-1626615491179)(res/chapter14-5.png)]
从这一小部分中去看，把计算梯度分成两个部分
- 计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z（Forward pass的部分）
- 计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l ( Backward pass的部分 )
Forward Pass
那么，首先计算
∂
z
∂
w
\frac{\partial z}{\partial w}
∂w∂z（Forward pass的部分）：
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根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：
∂
z
∂
w
1
=
x
1
∂
z
∂
w
2
=
x
2
\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2
∂w1∂z=x1∂w2∂z=x2
这里计算得到的
x
1
x_1
x1和
x
2
x_2
x2恰好就是输入的
x
1
x_1
x1和
x
2
x_2
x2
直接使用数字，更直观地看到运算规律：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UtNwEnDi-1626615491183)(res/chapter14-7.png)]
Backward Pass
(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层：
那怎么计算
∂
l
∂
z
\frac{\partial l}{\partial z}
∂z∂l （Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的
l
l
l是最后一层：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jDula3lP-1626615491185)(res/chapter14-8.png)]
计算所有激活函数的偏微分，激活函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例
这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：
∂
l
∂
z
=
∂
a
∂
z
∂
l
∂
a
⇒
σ
′
(
z
)
\frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z)
∂z∂l=∂z∂a∂a∂l⇒σ′(z)
∂
l
∂
a
=
∂
z
′
∂
a
∂
l
∂
z
′
+
∂
z
′
′
∂
a
∂
l
∂
z
′
′
\frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z''}
∂a∂l=∂a∂z′∂z′∂l+∂a∂z′′∂z′′∂l
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LDROUuJh-1626615491187)(res/chapter14-9.png)]
最终的式子结果：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EZ6YRgBP-1626615491189)(res/chapter14-10.png)]
但是你可以想象从另外一个角度看这个事情，现在有另外一个神经元，把forward的过程逆向过来,其中 σ ′ ( z ) {\sigma}'(z) σ′(z)是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EX0RDY1G-1626615491190)(res/chapter14-11.png)]
case 1 : Output layer
假设
∂
l
∂
z
′
\frac{\partial l}{\partial z'}
∂z′∂l和
∂
l
∂
z
′
′
\frac{\partial l}{\partial z''}
∂z′′∂l是最后一层的隐藏层
也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qtulR96s-1626615491192)(res/chapter14-12.png)]
但是如果不是最后一层，计算 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} ∂z′∂l和 ∂ l ∂ z ′ ′ \frac{\partial l}{\partial z''} ∂z′′∂l的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去
case 2 : Not Output Layer
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-T0PWT0y7-1626615491193)(res/chapter14-13.png)]
对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的
∂
l
∂
z
a
\frac{\partial l}{\partial z_a}
∂za∂l和
∂
l
∂
z
b
\frac{\partial l}{\partial z_b}
∂zb∂l,然后通过继续乘
w
5
w_5
w5和
w
6
w_6
w6得到
∂
l
∂
z
′
\frac{\partial l}{\partial z'}
∂z′∂l，但是要是
∂
l
∂
z
a
\frac{\partial l}{\partial z_a}
∂za∂l和
∂
l
∂
z
b
\frac{\partial l}{\partial z_b}
∂zb∂l都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。
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对上图，我们可以从最后一个
∂
l
∂
z
5
\frac{\partial l}{\partial z_5}
∂z5∂l和
∂
l
∂
z
6
\frac{\partial l}{\partial z_6}
∂z6∂l看，因为
∂
l
∂
z
a
\frac{\partial l}{\partial z_a}
∂za∂l和
∂
l
∂
z
b
\frac{\partial l}{\partial z_b}
∂zb∂l比较容易通过output求出来，然后继续往前求
∂
l
∂
z
3
\frac{\partial l}{\partial z_3}
∂z3∂l和
∂
l
∂
z
4
\frac{\partial l}{\partial z_4}
∂z4∂l，再继续求
∂
l
∂
z
1
\frac{\partial l}{\partial z_1}
∂z1∂l和
∂
l
∂
z
2
\frac{\partial l}{\partial z_2}
∂z2∂l
最后我们就得到下图的结果
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0UW3VBkk-1626615491195)(res/chapter14-15.png)]
实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。
总结
我们的目标是要求计算
∂
z
∂
w
\frac{\partial z}{\partial w}
∂w∂z（Forward pass的部分）和计算
∂
l
∂
z
\frac{\partial l}{\partial z}
∂z∂l ( Backward pass的部分 )，然后把
∂
z
∂
w
\frac{\partial z}{\partial w}
∂w∂z和
∂
l
∂
z
\frac{\partial l}{\partial z}
∂z∂l相乘，我们就可以得到
∂
l
∂
w
\frac{\partial l}{\partial w}
∂w∂l,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-T0Tsuror-1626615491197)(res/chapter14-16.png)]
