李宏毅机器学习【深度学习】(4)【反向传播】

反向传播

  1. 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的,也就是就算一个样本的误差,比如我们想要分类,就是预测的类别和实际类别的区别,是一个样本的,用L表示。
  2. 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和的平均,也就是损失函数的总和的平均,有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
  3. 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2kmpagc9-1626615491176)(res/chapter14-3.png)]

对于 L ( θ ) L(\theta) L(θ)就是所有 l n l^n ln的损失之和,所以如果要算每个 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,我们只要算每个 l n l^n ln的偏微分,再把所有 l n l^n ln偏微分的结果加起来就是 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,所以等下我们只计算每个 l n ​ l^n​ ln的偏微分。
我们先在整个神经网络(Neural network)中抽取出一小部分的神经(Neuron)去看(也就是红色标注的地方):
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-A9RNXtcN-1626615491178)(res/chapter14-4.png)]

取出一个Neuron进行分析

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t8AmOGzY-1626615491179)(res/chapter14-5.png)]
从这一小部分中去看,把计算梯度分成两个部分

  • 计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz(Forward pass的部分)
  • 计算 ∂ l ∂ z ​ \frac{\partial l}{\partial z}​ zl ( Backward pass的部分 )

Forward Pass

那么,首先计算 ∂ z ∂ w ​ \frac{\partial z}{\partial w}​ wz(Forward pass的部分):
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-mOvyJA7h-1626615491182)(res/chapter14-6.png)]

根据求微分原理,forward pass的运算规律就是:

∂ z ∂ w 1 = x 1 ∂ z ∂ w 2 = x 2 \frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2 w1z=x1w2z=x2
这里计算得到的 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2恰好就是输入的 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2
直接使用数字,更直观地看到运算规律:
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UtNwEnDi-1626615491183)(res/chapter14-7.png)]

Backward Pass

(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层:
那怎么计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl (Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的 l l l是最后一层:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jDula3lP-1626615491185)(res/chapter14-8.png)]

计算所有激活函数的偏微分,激活函数有很多,这里使用Sigmoid函数为例

这里使用链式法则(Chain Rule)的case1,计算过程如下:

∂ l ∂ z = ∂ a ∂ z ∂ l ∂ a ⇒ σ ′ ( z ) ​ \frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z)​ zl=zaalσ(z)
∂ l ∂ a = ∂ z ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ + ∂ z ′ ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z''}​ al=azzl+azzl
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LDROUuJh-1626615491187)(res/chapter14-9.png)]

最终的式子结果:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EZ6YRgBP-1626615491189)(res/chapter14-10.png)]

但是你可以想象从另外一个角度看这个事情,现在有另外一个神经元,把forward的过程逆向过来,其中 σ ′ ( z ) {\sigma}'(z) σ(z)是常数,因为它在向前传播的时候就已经确定了

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EX0RDY1G-1626615491190)(res/chapter14-11.png)]

case 1 : Output layer

假设 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial z''}​ zl是最后一层的隐藏层
也就是就是y1与y2是输出值,那么直接计算就能得出结果
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qtulR96s-1626615491192)(res/chapter14-12.png)]

但是如果不是最后一层,计算 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial z''}​ zl的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去

case 2 : Not Output Layer

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-T0PWT0y7-1626615491193)(res/chapter14-13.png)]
对于这个问题,我们要继续计算后面绿色的 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl,然后通过继续乘 w 5 w_5 w5 w 6 w_6 w6得到 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl,但是要是 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl都不知道,那么我们就继续往后面层计算,一直到碰到输出值,得到输出值之后再反向往输入那个方向走。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9KS372lH-1626615491194)(res/chapter14-14.png)]
对上图,我们可以从最后一个 ∂ l ∂ z 5 \frac{\partial l}{\partial z_5} z5l ∂ l ∂ z 6 \frac{\partial l}{\partial z_6} z6l看,因为 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl比较容易通过output求出来,然后继续往前求 ∂ l ∂ z 3 \frac{\partial l}{\partial z_3} z3l ∂ l ∂ z 4 \frac{\partial l}{\partial z_4} z4l,再继续求 ∂ l ∂ z 1 \frac{\partial l}{\partial z_1} z1l ∂ l ∂ z 2 \frac{\partial l}{\partial z_2} z2l
最后我们就得到下图的结果
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0UW3VBkk-1626615491195)(res/chapter14-15.png)]

实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。

总结

我们的目标是要求计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz(Forward pass的部分)和计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl ( Backward pass的部分 ),然后把 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl相乘,我们就可以得到 ∂ l ∂ w \frac{\partial l}{\partial w} wl,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数,然后用梯度下降就可以不断更新,得到损失最小的函数
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