计算机的表达式求值——波兰数与逆波兰数

波兰数与逆波兰数

波兰数解决的是这样的一个问题:如果操作符与操作数是固定的,则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析。

波兰数又称之为前缀表达式,逆波兰数又称之为后缀表达式。而日常使用的表达式则称为中缀表达式。

中缀表达式

小学老师告诉我们,一个表达式的构成包含操作符(加减乘除)、操作数和括号构成。如何无需括号的参与就能正确无误的解析这个表达式?这就是波兰数要解决的问题。

举个例子,如: ( 15 / 7 − ( 1 + 1 ) ) ∗ 3 − ( 2 + ( 1 + 1 ) ) (15 / 7 - (1 + 1)) * 3 - (2 + (1 + 1)) (15/7(1+1))3(2+(1+1))

(15 / 7)
(1 + 1)
((15 / 7) - (1 + 1))
((15 / 7) - (1 + 1) * 3)
(1 + 1)
(2 + (1 + 1))
((15 / 7) - (1 + 1) * 3) - (2 + (1 + 1))

这样,上述式子就被正确解析出来了。

不同的人有不同的习惯,步骤是不唯一的。

中缀转后缀

在这里插入图片描述

为了使我们获得的后缀表达式唯一,我们规定同级运算是从左到右的。即 15 / 7 15/7 15/7 1 + 1 1+1 1+1 必须先 15 / 7 15/7 15/7。(左优先)

操作符的左、右操作数的位置是严格区分的。因为加减乘法具有交换律,所以无关紧要,但是除法是不满足的。而且计算机中只有整型的加减乘是满足交换律的,而浮点数是不满足的,所以我们要严格区分。

根据运算顺序,将符号写到两个操作数之后,构成三元组(左操作数,右操作数,操作符),将构成的三元组再作为操作数。直到所有运算完成,得到的便是一个逆波兰数。

15 7 /
1 1 +
15 7 / 1 1 + -
15 7 / 1 1 + - 3 *
1 1 +
2 1 1 + +
15 7 / 1 1 + - 3 * 2 1 1 + + -

15   7   /   1   1   +   −   3   ∗   2   1   1   +   +   − 15\text{ }7\text{ }/\text{ }1\text{ }1\text{ }+\text{ }-\text{ }3\text{ }*\text{ }2\text{ }1\text{ }1\text{ }+\text{ }+\text{ }- 157/11+3211++ 便是一个逆波兰数。

后缀转中缀

在这里插入图片描述

从左往右扫描,遇到一个操作符,则将其前面两个操作数合并为一个操作数,直到合并整个完整个序列。(左优先)

同样,左右操作数的位置是严格区分的。

(15 / 7)
(1 + 1)
((15 / 7) - (1 + 1))
((15 / 7) - (1 + 1) * 3)
(1 + 1)
(2 + (1 + 1))
((15 / 7) - (1 + 1) * 3) - (2 + (1 + 1))

这样便成功的将后缀表达式解析为了中缀表达式。

后缀的运算

后缀表达式有什么呢?通过栈,很轻松的就能把表达式的结果算出来。

运算规则如下:

  1. 操作数,直接入栈。
  2. 操作符,从栈中弹出两个操作数,第一个为右操作数,第二个为左操作,运算后将结果压入栈。
  3. 直到整个表达式遍历完毕,栈底运算就是表达式的结果。

代码如下:

int evalRPN(vector<string>& tokens) {
    stack<int> stk;
    for (auto t : tokens) {
        if (t.size() > 1 || t[0] >= '0' && t[0] <= '9') {
            stk.push(stoi(t));
        } else {
            int r = stk.top(); stk.pop();
            int l = stk.top(); stk.pop();
            int res;
            if (t[0] == '+') {
                res = l + r;
            } else if (t[0] == '-') {
                res = l - r;
            } else if (t[0] == '*') {
                res =	 l * r;
            } else if (t[0] == '/') {
                res = l / r;
            }
            stk.push(res);
        } 
    }
    return stk.top();
}

后缀表达式

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