UA OPTI570 量子力学12 量子力学的假说

从经典力学到量子力学

我们先回顾一下经典力学描述物理系统的方法。首先根据系统的自由度定义一系列广义坐标 { q i ( t ) } i = 1 N \{q_i(t)\}_{i=1}^N {qi​(t)}i=1N​，它关于时间的导数 { q i ˙ ( t ) } \{\dot{q_i}(t)\} {qi​˙​(t)}被称为广义速度，根据系统的Lagrangian $L(q_i,{\dot{q}}_i,t)$可以得到系统的动量
$$p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$$

{ p i } \{p_i\} {pi​}与 { q i } \{q_i\} {qi​}被称为基本动力学变量，物理系统的其他物理量，比如能量、角动量等都可以用基本变量表示出来，比如系统能量就可以用Hamiltonian $H(q_i,p_i,t)$表示，它与基本动力学量之间的关系由Hamilton-Jacobi经典方程描述：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ {\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\end{array}$$

例 考虑质量为$m$，位置为$\text{r}$，速度为$\text{v}=\dot{\text{r}}$，势能为$V(\text{r},t)$的质点，它的总能量为
$$E=\frac{{\text{p}}^2}{2m}+V(\text{r},t),\text{p}=m\text{v}$$

角速度为
$$\text{L}(\text{r},t)=\text{r}\times \text{p}$$

Hamiltonian为
$$H(\text{r},\text{p},t)=E=\frac{{\text{p}}^2}{2m}+V(\text{r},t)$$

所以它满足的Hamilton-Jacobi方程为
$$\begin{gathered} \dot{\text{r}}=\frac{\text{p}}{m}\iff \text{p}=m\text{v} \\ \dot{\text{p}}=-\nabla V(牛顿第二定律) \end{gathered}$$

总结一下，用经典力学描述物理系统大致遵循以下思路：

1. 任意时刻系统的状态都可以由基本动力学变量 { q i , p i } \{q_i,p_i\} {qi​,pi​}描述；
2. 给定时刻且已知基本动力学变量 { q i , p i } \{q_i,p_i\} {qi​,pi​}系统的其他物理量都可以被计算出来（不存在随机性）；
3. 给定系统的初始状态，任意时刻系统的状态均可以由Hamilton-Jacobi方程唯一确定；

既然现在我们要引入量子力学，那么也需要给出用量子力学描述物理系统所应遵循的基本框架，这需要回答下面几个问题：

1. 如何用数学描述给定时刻量子系统的状态？
2. 给定时刻且已知系统的状态时，如何计算其他物理量的值？
3. 已知系统的初始状态，如何导出系统在任意时刻的状态？

从这一讲开始逐步引入量子力学的假说(postulates of quantum mechanics)，并尝试回答这几个问题。

量子力学假说的基本内容

这里就直接给出假说的核心内容了，后续再慢慢讨论这些假说的物理学含义。已下假说排序不体现重要性，假说1回答上面第一个问题，假说2、3、4回答上面第二个问题，假说5、6回答第三个问题。

假说1 $|\psi (t_0)⟩\in \mathcal{E}$
其中$\mathcal{E}$表示量子系统所有可能的状态组成的集合，即状态空间(state space)，左矢$|\psi (t_0)⟩$表示量子系统在$t_0$时刻的状态，也就是说量子系统在给定时刻的状态由其状态空间中的一个左矢描述。

假说2 $\hat{A}:\mathcal{E}\to \mathcal{E},{\hat{A}}^{†}=\hat{A}$
量子系统的物理量都可以用一个Hermitian算子来表示，它作用在左矢的结果依然属于量子系统的状态空间。

假说3 对物理量$\hat{A}$的测量结果属于它的谱（也就是只可能是它的特征值中的某一个，因为$\hat{A}$是厄尔米特算符，所以它的特征值都是实数）

假说4 $\mathcal{P}(a)=⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩$
假设$a$是厄尔米特算符$\hat{A}$的一个特征值，$\hat{A}|a⟩=a|a⟩$，假设系统某时刻状态为$|\psi ⟩$，则在此时刻测量这个物理量得到$a$的概率为$|⟨a|\psi ⟩{|}^2=⟨\psi |a⟩⟨a|\psi ⟩=⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩$，其中${\hat{\mathbb{P}}}_a$是到$a$对应的特征子空间的投影算子；

如果$a$对应的特征子空间几何重数为$g>1$，记它对应的特征左矢为$|a^i⟩$，则
$${\mathcal{P}}_a=\sum _{i=1}^g|⟨a^i|\psi ⟩{|}^2=⟨\psi |\left(\sum _{i=1}^g|a^i⟩⟨a^i|\right)|\psi ⟩=⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩$$

如果$|\psi ⟩$不是标准化的左矢，那么
$${\mathcal{P}}_a=\frac{⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}$$

如果这个算符$\hat{A}$有连续谱，则测量结果满足$a_1\le a<a_2$的概率为
$$\begin{gathered} \mathcal{P}(a_1\le a<a_2)=⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_{a_1\le a<a_2}|\psi ⟩=⟨\psi |{\int }_{a_1}^{a_2}|a⟩⟨a|da|\psi ⟩ \\ ={\int }_{a_1}^{a_2}|⟨a|\psi ⟩{|}^{2}da={\int }_{a_1}^{a_2}d\mathcal{P}(a) \end{gathered}$$

微分$d\mathcal{P}(a)$表示测量结果属于$[a,a+da]$的概率，$⟨a|\psi ⟩$被称为概率幅（probability amplitude），$|⟨a|\psi ⟩{|}^2$被称为概率密度。

例，$\tilde{X}|x⟩=x|x⟩$，测量到位置在$[x_1,x_2)$之间的概率为
$$\mathcal{P}(x_1\le x<x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}|⟨x|\psi ⟩{|}^{2}dx={\int }_{x_1}^{x_2}|\psi (x){|}^{2}dx$$

假说5 Collapse！
对物理量$\hat{A}$的测量完成后，如果测量结果为$a$，则量子系统状态空间坍缩为$a$对应的特征子空间，用$|{\psi }^{\prime }⟩$表示测量后系统的状态，即
$$|{\psi }^{\prime }⟩=\frac{{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩}{⟨\psi |{\hat{\mathbb{P}}}_a|\psi ⟩}$$

对概率论比较熟悉的同学一眼就能看出它就是一个条件概率。用一个简单的例子来解释一下：假设一个粒子有1，2这两种等可能的速度，1，2这两个速度各自对应1.1，1.2和2.1，2.2这两组等可能的量子态，那么测量前粒子状态是这四种状态各1/4，但测量到粒子速度为1说明它的状态只可能是1.1，1.2这两种，概率各一半（也就是给定速度为1状态为1.1、给定速度为1状态为1.2的条件概率），这个就是量子态的坍缩。

假说6 量子态的演化满足薛定谔方程：
$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (t)=\hat{H}(t)|\psi (t)⟩$$

其中$\hat{H}$是系统的Hamiltonian算符。由薛定谔方程决定的量子态的演化是没有随机性的，量子力学的随机性体现在物理量的测量上