【数学】【C++】CINTA作业二:GCD与EGCD

1、给出Bezout定理的完整证明。

2、实现GCD算法的迭代版本。

3、实现EGCD算法。输入:a、b两个整数,输出:r、s、d三个整数,满足ar + bs =d。

4、实现一种批处理版本的GCD算法,即,给定一个整数数组,输出其中所有整数的最大公因子。输入:一个整数数组a;输出:一个整数d,是a数组中所有整数的最大公因子。



1、给出Bezout定理的完整证明。

设 a 和 b 为非零整数,存在整数 r 和 s 使得:gcd(a, b) = ar + bs,而且a 与 b 的最大公因子是惟一的。称 r 和 s 为 Bézout 系数。
①、
  设gcd(a,b)=d,则有k1d=a,k2d=b,k1、k2∈Z+。
  故a和b的线性组合am+bn=k1dm+k2dn=d(k1m+k2n),
  明显的,a和b的线性组合总是d的倍数,(但并不能断定k1m+k2n可以取任意正整数)
②、
  对于k1和k2来说:k1和k2必然互质。若不互质,则其中一个是另一个的倍数,
  假定k1是k2的倍数,则由a=k1d和b=k2d得知a也是b的倍数,则gcd(a,b)=b,
  此时将得到k2=1的结论(而1与任何正整数互质)。
  因此gcd(k1,k2)=1。
③、
  设集合M{m|m=ax+by:x,y∈Z},
  设d是集合M的最小正整数,设e为集合M中除d外的其他数,
  则由除法算法有e=di+j(其中i∈Z,0≤j<d)。
  因为e∈M且d∈M,所以di∈M,j∈M;
  因为d是M的最小正整数,且j∈M,0≤j<d,所以j只能取0,
  因此e=di,这说明集合M中的元素都是d的倍数,即d|e。
  设a、b互质,ax1+by1=e,
  则a(x1+1)+by1=e+a,即(e+a)∈M,由d|e得d|(e+a),
  故d|a。同理得d|b。
  由于d|a并且d|b,且a和b互质,所以d的取值只能是1
  所以集合M的最小正整数是1,且其他元素均是1的倍数,或者说M与Z等价
  (传送门——https://blog.csdn.net/jiejnan/article/details/6210327)
  (感觉①和②是不是多余了)
④、
  由②③得知,①中的a、b线性组合am+bn是d的倍数,
  存在整数r和s使得ar+bs=d,即gcd(a,b)=ar+bs



2、实现GCD算法的迭代版本。

#include<iostream>
using namespace std;

typedef unsigned uint;
uint GCD(uint a, uint b) {//迭代版本
	return a == 0 ? b :(b==0?a: (a>b?GCD(a%b,b):GCD(b%a,a)));
}

uint BGCD(uint a,uint b) {//二进制GCD算法
	if (a == 0)//防崩
		(a = b), (b = 0);
	if (a == 0)//放崩二度
		return 0;

	auto swap = [](uint& a, uint& b) {
		a ^= b;
		b ^= a;
		a ^= b;
	};
	uint pwr = 0;//指数。如果两个数都有明显的公因子,那可以先拿出来,即gcd(a,b)=gcd(ka',kb')=k*gcd(a',b')
	for (; !((a | b) & 1); ++pwr)
		(a >>= 1), (b >>= 1);
	while (!(a & 1))//在辗转相除中,如果一个数有a=ka'形式,那么可以用a'把a替代。或者说,gcd(a,b)=gcd(ka',b)=gcd(a',b)
		a >>= 1;
	while (b) {
		while (!(b & 1))
			b >>= 1;
		if (b<a)
			swap(a, b);
		b -= a;
	}
	return a << pwr;
}

int main() {
	cout << GCD(15, 50) << endl;//输出结果:5
	cout << BGCD(15, 50) << endl;//输出结果:5
	return 0;
}



3、实现EGCD算法。输入:a、b两个整数,输出:r、s、d三个整数,满足ar + bs =d。

#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned uint;
#include<vector>

vector<int> EGCD(uint a, uint b) {//勉强看懂,要从头写的话比较吃力。
	int r, s, R, S;
	r = S = 1;
	R = s = 0;
	while (b) {
		uint q = a / b;

		uint tmp = a % b;
		a = b;
		b = tmp;

		tmp = r - q * R;
		r = R;
		R = tmp;

		tmp = s - q * S;
		s = S;
		S = tmp;
	}
	return vector<int>{ (int)a,r,s };
}


vector<int> BEGCD(uint a, uint b) {//看不懂。考试要真被要求从零写出来的话,,我直接pass掉[doge][doge]
	int r, s, R, S, pwr;
	r = S = 1;
	R = s = pwr = 0;
	for (; !((a | b) & 1); ++pwr)
		(a >>= 1), (b >>= 1);
	int A, B;
	A = a;
	B = b;
	auto swap = [](int& a, int& b) {
		a ^= b;
		b ^= a;
		a ^= b;
	};
	while (B) {
		while (!(A | 1)) {
			A >>= 1;
			if (!((r | s) & 1))
				(r >>= 1), (s >>= 1);
			else
				(r = (r + b) >> 1),(s=(s-a)>>1);
		}
		while (!(B | 1)) {
			B >>= 1;
			if (!((R | S) & 1))
				(R >>= 1), (S >>= 1);
			else
				(R = (R + b) >> 1), (S = (S - a) >> 1);
		}
		if (B < A)
			swap(A,B), swap(r,R), swap(s,S);
		B -= A;
		R -= r;
		S -= s;
	}
	return vector<int>{A<<pwr,r,s};
}


int main() {
	auto egcd = EGCD(15, 50);
	cout << egcd[0] << ' ' << egcd[1] << ' ' << egcd[2] << endl;//输出结果:5 -3 1
	auto begcd = BEGCD(15, 50);
	cout << begcd[0] << ' ' << begcd[1] << ' ' << begcd[2] << endl;//输出结果:5 -3 1
	return 0;
}



4、实现一种批处理版本的GCD算法,即,给定一个整数数组,输出其中所有整数的最大公因子。输入:一个整数数组a;输出:一个整数d,是a数组中所有整数的最大公因子。

#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned uint;
#include<vector>

uint BAT_EGCD(vector<uint> nums) {
	uint tmp = 0;
	uint pwr = 0;
	for (auto p = nums.begin(); p != nums.end(); ++p)
		tmp |= *p;
	if (tmp == 0)//防崩
		return 0;
	for(;(tmp & 1) == 0;tmp>>=1)
		++pwr;
	for (auto p = nums.begin(); p != nums.end(); ++p) {
		*p >>= pwr;
		if (*p != 0 && *p < tmp)//找出nums的最小正值
			tmp = *p;
	}
	uint min = tmp;
	for(uint cnt=0;cnt!=nums.size();){//cnt统计nums中的0值个数,作为循环退出条件
		tmp = min;
		cnt = 0;
		for (auto p = nums.begin(); p != nums.end(); ++p) {
			if (*p == 0) {
				++cnt;
				continue;
			}
			while ((*p & 1) == 0)
				*p >>= 1;
			if (*p < tmp)
				tmp = *p;
			if (*p >= min)
				*p -= min;
		}
		min = tmp;
	}
	return min << pwr;
}

int main() {
	cout << BAT_EGCD(vector<uint>{18,54,108,30})<<endl;//输出结果:6
	return 0;
}

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